\(a,m=3\Leftrightarrow\left(d_1\right):y=2x+1\\ b,\text{Gọi PT cần tìm là }\left(d_2\right):y=ax+b\left(a\ne0\right)\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b\ne1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(d_2\right):y=2x+b\\ \text{PT giao }Ox:y=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{2}\Leftrightarrow A\left(-\dfrac{b}{2};0\right)\Leftrightarrow OA=\left|\dfrac{b}{2}\right|\\ \text{PT giao }Oy:x=0\Leftrightarrow y=b\Leftrightarrow B\left(0;b\right)\Leftrightarrow OB=\left|b\right|\)

Gọi H là chân đường cao từ O tới \(\left(d_2\right)\Leftrightarrow OH=1\)

Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{b^2}+\dfrac{1}{b^2}=1\\ \Leftrightarrow\dfrac{5}{b^2}=1\Leftrightarrow b^2=5\Leftrightarrow b=\pm\sqrt{5}\left(tm\right)\)

Vậy \(\left(d_2\right)\) có dạng \(\left(d_2\right):y=2x+\sqrt{5}\) hoặc \(\left(d_2\right):y=2x-\sqrt{5}\)

\(c,\text{Gọi điểm cần tìm là }A\left(x_0;y_0\right)\\ \Leftrightarrow y_0=mx_0-x_0+m-2\\ \Leftrightarrow m\left(x_0+1\right)-\left(x_0+y_0+2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0+1=0\\x_0+y_0+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-1\\y_0=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A\left(-1;-1\right)\\ \text{Vậy }A\left(-1;-1\right)\text{ là điểm cố định mà }\left(d\right)\text{ đi qua với mọi }m\)

\(\text{PT giao }Ox:y=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2-m}{m-1}\Leftrightarrow A\left(\dfrac{2-m}{m-1};0\right)\Leftrightarrow OA=\left|\dfrac{m-2}{m-1}\right|\\ \text{PT giao }Oy:x=0\Leftrightarrow y=m-2\Leftrightarrow B\left(0;m-2\right)\Leftrightarrow OB=\left|m-2\right|\\ \text{Ta có }S_{OAB}=\dfrac{1}{2}OA\cdot OB=\dfrac{1}{2}\cdot\left|\dfrac{m-2}{m-1}\right|\cdot\left|m-2\right|\\ \Leftrightarrow S_{OAB}=\dfrac{\left(m-2\right)^2}{2\left|m-1\right|}\)

Đặt \(S_{OAB}=t\)

Với \(m\ge1\Leftrightarrow t=\dfrac{\left(m-2\right)^2}{2\left(m-1\right)}\Leftrightarrow2mt-2t=m^2-4m+4\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m\left(2-t\right)+2t+4=0\)

PT có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(2-t\right)^2-\left(2t+4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow t^2-6t\ge0\Leftrightarrow t\left(t-6\right)\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t\le0\\t\ge6\end{matrix}\right.\left(1\right)\)

Với \(m< 1\Leftrightarrow t=\dfrac{\left(m-2\right)^2}{2\left(1-m\right)}\Leftrightarrow2t-2mt=m^2-4m+4\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m\left(t-2\right)+4-2t=0\)

PT có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(t-2\right)^2-\left(4-2t\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow t^2-2t\ge0\Leftrightarrow t\left(t-2\right)\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t\le0\\t\ge2\end{matrix}\right.\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Leftrightarrow t\ge6\)

Vậy \(\left(S_{OAB}\right)_{min}=6\Leftrightarrow\dfrac{\left(m-2\right)^2}{2\left|m-1\right|}=6\)

\(\Leftrightarrow12\left|m-1\right|=m^2-4m+4\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}12\left(m-1\right)=m^2-4m+4\left(m\ge1\right)\\12\left(1-m\right)=m^2-4m+4\left(m< 1\right)\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2-16m+16=0\\m^2+8m-8=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=8\pm4\sqrt{3}\\m=-4\pm2\sqrt{6}\end{matrix}\right.\)

\(a,d//d_1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+2=-2\\m\ne3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-4\\ b,d\perp d_2\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}\left(m+2\right)=-1\Leftrightarrow m+2=-3\Leftrightarrow m=-5\\ c,d.qua.N\left(1;3\right)\Leftrightarrow x=1;y=3\Leftrightarrow3=m+2+m\\ \Leftrightarrow2m=1\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}\)

\(d,\) Gọi điểm đó là \(A\left(x_1;y_1\right)\)

\(\Leftrightarrow y_1=\left(m+2\right)x_1+m\\ \Leftrightarrow y_1-mx_1-2x_1-m=0\\ \Leftrightarrow-m\left(x_1+1\right)+y_1-2x_1=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+1=0\\y_1-2x_1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-1\\y_1=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy \(A\left(-1;-2\right)\) luôn đi qua D với mọi m

Ta biết đổi lại thành \(y\left(2m-2\right)=\left(m+3\right)-\left(m-1\right)x\)

a/ Để đths song song với (d) : \(y=\frac{3x-1}{2}=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}\)thì \(\begin{cases}2m-2\ne0\\m+3\ne-\frac{1}{2}\\-\left(m-1\right)=\frac{3}{2}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}\) (thỏa mãn)

Còn lại tương tự.

b/ Gọi điểm cố định là \(N\left(x_0;y_0\right)\)

Vì đths đi qua N nên \(\left(m-1\right)x_0+\left(2m-2\right)y_0=m+3\Leftrightarrow m\left(x_0+2y_0-1\right)-\left(x_0+2y_0+3\right)=0\)

Để N là điểm cố định thỏa mãn thì

\(\begin{cases}x_0+2y_0-1=0\\x_0+2y_0+3=0\end{cases}\) . Hệ này vô nghiệm.

Vậy không có điểm cố định.

1.

\(a,\Leftrightarrow2m-1+m-2=6\Leftrightarrow3m=9\Leftrightarrow m=3\\ b,2x+3y-5=0\Leftrightarrow3y=-2x+5\Leftrightarrow y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}\)

Để \(\left(d\right)\text{//}y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m-1=-\dfrac{2}{3}\\m-2\ne\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=\dfrac{1}{6}\\m\ne\dfrac{11}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{6}\)

\(c,x+2y+1=0\Leftrightarrow2y=-x-1\Leftrightarrow y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\\ \left(d\right)\bot y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\left(-\dfrac{1}{2}\right)\left(2m-1\right)=-1\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(2m-1\right)=1\Leftrightarrow m-\dfrac{1}{2}=1\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}\)

2.

Gọi điểm cố định đó là \(A\left(x_0;y_0\right)\)

\(\Leftrightarrow y_0=\left(2m-1\right)x_0+m-2\\ \Leftrightarrow2mx_0+m-x_0-2-y_0=0\\ \Leftrightarrow m\left(2x_0+1\right)-\left(x_0+y_0+2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_0=-1\\x_0+y_0+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-\dfrac{1}{2}\\y_0=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

a: Thay x=1 và y=2 vào (d), ta được:

2m+1=2

hay m=1/2

b: Để hai đường song song thì m+1=2

hay m=1

Mất đường (d2) rồi bạn!